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[图文](2015年贵州模拟)已知中心在原点O,左焦点为F1(-1,0)的椭圆C的左顶点为A,           ★★★
(2015年贵州模拟)已知中心在原点O,左焦点为F1(-1,0)的椭圆C的左顶点为A,
作者:佚名 文章来源:网络 点击数: 更新时间:2015-3-12 8:04:33

最优题库网(2015•贵州模拟)已知中心在原点O,左焦点为F1(-1,0)的椭圆C的左顶点为A,上顶点为B,F1到直线AB的距离为
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|OB|. (1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C1方程为:
x2
m2
+
y2
n2
=1(m>n>0),椭圆C2方程为:
x2
m2
+
y2
n2
=λ(λ>0,且λ≠1),则称椭圆C2是椭圆C1的λ倍相似椭圆.已知C2是椭圆C的3倍相似椭圆,若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C2于两点M、N,试求弦长|MN|的取值范围.

解:(1)设椭圆C1方程为:x2a2+y2b2=1(a>b>0),
∴直线AB方程为:x-a+yb=1,
∴F1(-1,0)到直线AB距离为d=|b-ab|a2+b2=77b,化为a2+b2=7(a-1)2, 又b2=a2-1,
解得:a=2,b=3.
∴椭圆C1方程为:x24+y23=1.k2+3-m2)=0,即m2=4k2+3,(*)
记M、N两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).
将y=kx+m代人椭圆C2方程,得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-36=0,
∴x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2-363+4k2,
∴|x1-x2|=(x1+x.
(2)椭圆C1的3倍相似椭圆C2的方程为:x212+y29=1.
①若切线m垂直于x轴,则其方程为:x=±2,易求得|MN|=26.②若切线m不垂直于x轴,可设其方程为:y=kx+m.
将y=kx+m代人椭圆C1方程,得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
∴△=48(4)2-4x1x2=43(12k2+9-m2)3+4k2=463+4k2,
∴|MN|=(1+k2)|x1-x2|=461+k23+4k2=261+13+4k2
∵3+4k2≥3,∴1<1+13+4k2≤43,即26<261+13+4k2≤42,
综合①②,得:弦长|MN|的取值范围为[26,42].


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